Racionalna funkcija je enačba, ki ima obliko y = N (x)/D (x), kjer sta N in D polinoma. Poskus ročnega skiciranja natančnega grafa je lahko celovit pregled mnogih najpomembnejših srednješolskih matematičnih tem, od osnovne algebre do diferencialnega računa. Razmislite o naslednjem primeru: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Koraki
Korak 1. Poiščite y prestrezanje
Preprosto nastavite x = 0. Vse, razen konstantnih izrazov, izgine in ostane y = 5/2. To izrazimo kot koordinatni par (0, 5/2) je točka na grafu. Narišite to točko.
Korak 2. Poiščite vodoravno asimptoto
Dolgo razdelite imenovalec na števec, da določite obnašanje y pri velikih absolutnih vrednostih x. V tem primeru razdelitev pokaže, da je y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Za velike pozitivne ali negativne vrednosti x se 17/(8 x + 4) približa ničli, graf pa približuje črto y = (1/2) x - (7/4). S črtkano ali rahlo narisano črto narišite to črto.
- Če je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca, ni deljenja, asimptota pa je y = 0.
- Če je deg (N) = deg (D), je asimptota vodoravna črta v razmerju med vodilnimi koeficienti.
- Če je deg (N) = deg (D) + 1, je asimptota črta, katere naklon je razmerje med vodilnimi koeficienti.
- Če je deg (N)> deg (D) + 1, potem za velike vrednosti | x |, y hitro preide v pozitivno ali negativno neskončnost kot kvadratni, kubični ali polinom višje stopnje. V tem primeru se verjetno ne splača natančno prikazati količnika delitve.
Korak 3. Poiščite ničle
Racionalna funkcija ima nič, če je števec nič, zato nastavimo N (x) = 0. V primeru 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Diskriminator tega kvadrata je b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Ker je diskriminator negativen, N (x) in posledično f (x) nima pravih korenin. Graf nikoli ne prečka osi x. Če so bile najdene ničle, te točke dodajte v graf.
Korak 4. Poiščite navpične asimptote
Navpična asimptota se pojavi, ko je imenovalec nič. Nastavitev 4 x + 2 = 0 daje navpično črto x = -1/2. Vsako navpično asimptoto označite s svetlo ali črtkano črto. Če je zaradi določene vrednosti x N (x) = 0 in D (x) = 0, lahko obstaja navpična asimptota ali pa tudi ne. To je redko, vendar poglejte nasvete, kako se spopasti z njim, če se pojavi.
Korak 5. Oglejte si preostanek delitve v 2. koraku
Kdaj je pozitivno, negativno ali nič? V primeru je števec ostanka 17, ki je vedno pozitiven. Imenovalec 4 x + 2 je pozitiven desno od navpične asimptote in negativen levo. To pomeni, da se graf približuje linearni asimptoti od zgoraj za velike pozitivne vrednosti x in od spodaj za velike negativne vrednosti x. Ker 17/(8 x + 4) nikoli ne more biti nič, ta graf nikoli ne preseka črte y = (1/2) x - (7/4). Ne dodajte trenutno ničesar na graf, ampak upoštevajte te zaključke za pozneje.
Korak 6. Poiščite lokalne skrajnosti
Lokalni ekstrem se lahko pojavi, kadar je N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. V primeru je N '(x) = 4 x - 6 in D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Razširitev, združevanje izrazov in deljenje s 4 listi x 2 + x - 4 = 0. Kvadratna formula prikazuje korenine blizu x = 3/2 in x = -5/2. (Ti se za približno 0,06 razlikujejo od natančnih vrednosti, vendar naš graf ne bo dovolj natančen, da bi skrbel za to raven podrobnosti. Izbira spodobnega racionalnega približevanja olajša naslednji korak.)
Korak 7. Poiščite y -vrednosti vsakega lokalnega ekstrema
Vstavite x -vrednosti iz prejšnjega koraka nazaj v izvirno racionalno funkcijo, da poiščete ustrezne y -vrednosti. V primeru je f (3/2) = 1/16 in f (-5/2) = -65/16. Dodajte te točke, (3/2, 1/16) in (-5/2, -65/16) v graf. Ker smo približali v prejšnjem koraku, to nista natančna minimuma in maksimuma, vendar sta verjetno blizu. (Vemo (3/2, 1/16) je zelo blizu lokalnega minimuma. Od tretjega koraka vemo, da je y vedno pozitiven, ko je x> -1/2, in ugotovili smo, da je vrednost le 1/16, zato je vsaj v tem primeru napaka verjetno manjša od debeline črte.)
Korak 8. Povežite pike in gladko razširite graf od znanih točk do asimptot, pri čemer pazite, da se jim približate iz pravilne smeri
Pazite, da ne prečkate osi x, razen na točkah, ki so bile že najdene v koraku 3. Ne prečkajte vodoravne ali linearne asimptote, razen na točkah, ki so že najdene v koraku 5. Ne spreminjajte se s poševno navzgor na navzdol, razen pri skrajnost, ugotovljena v prejšnjem koraku.
Video - z uporabo te storitve se lahko nekateri podatki delijo z YouTubom
Nasveti
- Nekateri od teh korakov lahko vključujejo reševanje polinoma visoke stopnje. Če ne morete najti natančnih rešitev z faktorizacijo, formulami ali drugimi sredstvi, ocenite rešitve z uporabo numeričnih tehnik, kot je Newtonova metoda.
- Če sledite korakom po vrstnem redu, običajno ni treba uporabiti preskusov drugih izpeljank ali podobnih potencialno zapletenih metod, da ugotovite, ali so kritične vrednosti lokalni maksimumi, lokalni minimumi ali ne. Poskusite najprej uporabiti podatke iz prejšnjih korakov in malo logike.
- Če poskušate to narediti samo z metodami predračunanja, lahko korake o iskanju lokalnih skrajnosti zamenjate z izračunom več dodatnih (x, y) urejenih parov med vsakim parom asimptot. Druga možnost je, če vam ni vseeno, zakaj deluje, ni razloga, da študent pred izračunom ne more vzeti izpeljanke polinoma in rešiti N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
V redkih primerih ima lahko števec in imenovalec skupen nestalni faktor. Če sledite korakom, bo to prikazano kot nič in navpična asimptota na istem mestu. To je nemogoče in tisto, kar se dejansko zgodi, je eno od naslednjih:
- Nič v N (x) ima večjo množico kot ničla v D (x). Graf f (x) se na tej točki približa ničli, vendar tam ni opredeljen. To označite z odprtim krogom okoli točke.
- Nič v N (x) in ničla v D (x) imata enako množico. Graf se za to vrednost x približa neki točki, ki ni nič, vendar tam ni določena. Ponovno to označite z odprtim krogom.
- Nič v N (x) ima nižjo množico kot ničla v D (x). Tu je navpična asimptota.
